高数

仅为考试复习，非笔记！

曲线积分

1. 第一型曲线积分$\int_L f(x,y){\rm d}s$：

   解法：

   1. 参数方程：x=$\phi(t)$ , y=$\varphi(t)$.

   $=\int ^a_b f(\phi(t),\varphi(t))\sqrt{\phi(t)^2+\varphi(t)^2}{\rm d}t$

   2. 非参数方程：

      将x作为参数，同理。

2. 第二型曲线积分$\int_L P(x,y){\rm d}x+Q(x,y){\rm d}y$：

   解法：

   1. 参数方程：x=$\phi(t)$ , y=$\varphi(t)$.

      $=\int ^a_b [P[\phi(t),\varphi(t)]\phi'(t)+Q[\phi(t),\varphi(t)]\varphi'(t)]{\rm d}t$

3. 格林公式：闭合x,y 第二型曲线积分

   光滑闭合曲线 L，有

   $$\oint_L P{\rm d}x+Q{\rm d}y=\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x }-\frac{\partial P}{\partial y}){\rm d}x{\rm d}y$$

4. 斯托克斯公式：闭合x,y,z第二型曲线积分

   方向：

   ​ 右手定则

   $$\oint Pdx+Qdy+Rdz=\iint_{\sum} (\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z })dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$

曲面积分

1. 第一型曲面积分$\iint_{\sum} f(x,y,z){\rm d}S$:

   解法：

   $=\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(z,y))\sqrt{1+z'^2_x+z'^2_y} {\rm d}x{\rm d}y$

   对称性：

   1. 如果$\sum$关于yOz平面对称，当$f(x,y,z)$为关于x的奇函数时，

      $$\iint_{\sum} f(x,y,z){\rm d}S=0$$

   2. 如果$f(x,y,z)$为关于x的偶函数时，

      $$\iint_{\sum} f(x,y,z){\rm d}S=2\iint_{\sum_1} f(x,y,z){\rm d}S$$

2. 第二型曲面积分$\iint_{\sum}P(x,y,z){\rm d}y{\rm d}z+Q(x,y,z){\rm d}z{\rm d}x+R(x,y,z){\rm d}x{\rm d}y$:

   解法:

   $=\pm [P(x,y,z(x,y))(-z'_x)+Q(x,y,z(x,y))(-z'_y)+R(x,y,z(x,y))]{\rm d}x{\rm d}y$

   与第二型曲线积分类似，将z替换掉，并加入z关于x,y的导数，只是要在导数前加负号，并判断曲面方向。

   对称性:

   ​ 曲面（包括方向）关于平面对称，与第一型曲线积分类似。

3. 高斯公式：闭合第二型曲面积分

   $$\oint_{\sum}Pdydz+Qdzdx+Pdxdy=\iiint_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})$$

   注意P，Q，R

无穷级数

1. 判断敛散性：

   1. 正项级数：

      1. 比较判别法：

         ​ 如果$\lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}=0$，则$u_n<v_n$

         ​ 如果$\lim_{n \to +\infty}\frac{u_n}{v_n}=\infty$，则$u_n>v_n$

         ​ else：$u_n=v_n$，有相同敛散性。

      2. 比式判别法：

         ​ 如果$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$，则 $u_n$ 收敛

         ​ 如果$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$，则 $u_n$ 发散

      3. 根式判别法：

         ​ 如果 $\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{u_n}<1$，则$u_n$收敛

         ​ 如果 $\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{u_n}>1$，则$u_n$发散

         注意：当 =1时，需具体判断。

   2. 一般项级数：

      1. 莱布尼兹判别法：

         ​ 若满足：

         ​ (i) $u_n\geq u_{n+1}$；

         ​ (ii) $\lim_{n\to \infty}u_n=0$；

         ​ 则 $u_n$ 收敛。

      2. 绝对收敛和条件收敛：

         在一般项级数收敛的条件下，根据对应的取绝对值后的正项级数是否收敛。

         正项级数收敛则绝对收敛，反之条件收敛。

2. 幂级数运算：

3. 求展开式：

   几个常用的级数：

   • $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n,(-1<x<1)$

   • $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, x\in(-\infty,+\infty)$

   • $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$

   • $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

4. 求和函数：

   求导，积分后化为几个常用级数即可。

5. 傅里叶级数：

   1. 周期为$2\pi$:

      $$f(x)=\frac{a_n}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

      其中：

      $$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)(\cos nx) dx$$

      $$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)(\sin nx) dx$$

   2. 周期为$2l$:

      $$f(x)=\frac{a_n}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})$$

      其中：

      $$a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)(\cos \frac{n\pi x}{l}) dx$$

      $$b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)(\sin \frac{n\pi x}{l}) dx$$

   3. 周期延拓：

      1. 奇周期延拓则$a_n=0$；

      2. 偶周期延拓则$b_n=0$；

微分方程

1. 一阶微分方程：

   1. 可分离变量型：

      直接分离x,y，两边分别积分。

   2. 齐次型微分方程：

      令$u=\frac{x}{y}$，则$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$，代入原方程，化为u，x的可分离变量方程，最后把 u 代回 y 。

   3. 可化为齐次型的微分方程：

      形如

      $$\frac{dy}{dx}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$$

      设 $x=\xi+\alpha, y=\eta+\beta$

      将x，y换为 $\xi,\eta$，解方程化为关于 $\xi,\eta$ 的齐次型微分方程。最后把 x，y 代回来。

   4. 一阶线性齐次微分方程：

      同下一阶线性非齐次。

   5. 一阶线性非齐次微分方程：

      $$y'+P(x)y=Q(x)$$

      左右同乘，凑微分。

      化为$$(ye^{\int P(x)dx})'=e^{\int P(x)dx}Q(x)$$

      两边积分。

      特：伯努利方程：

      $$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^{\alpha}$$

      同除 $y^{\alpha}$ ，令 $z=y^{1-\alpha}$，求解。

      再特：有时将方程视为 x 关于 y 的方程更容易求解。

   6. 全微分方程：

      理论上最容易的一种。

      $$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$

      沿路径积分：

      $$u(x,y)=\int_{x_0}^xP(x,y_0)dx+\int_{y_0}^yQ(x,y)dy=C$$

      其中 $x_0,y_0$ 一般取 0 。

      积分因子：

      有时，微分方程不是全微分，但可以通过两边乘某一个积分因子化为全微分方程。

      观察法。

2. 高阶微分方程：

   同样只讲非齐次方程

   $$y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+\cdots+p_ny=q(x)$$

   解的结构：

   非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解。

   1. 齐次通解：

      特征方程 $r^n+p_1 r^{n-1}+\cdots+p_n=0$

      1. 若为实数解。

         $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}+\cdots$

         或根据有重根，改变

      2. 若为虚数解。

         根为 $r=\alpha \pm\beta i$

         $$y=e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x+C_2 \sin\beta x)$$

   2. 非齐次特解：

      只学了两种情况：

      1. $q(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$，其中$P_m(x)$为多项式。

         设 $\tilde{y}=e^{\lambda x}k(x)Q_m(x)$

         其中，$k(x)$ 根据 $\lambda$ 是否为齐次通解,是否为重根 取 1 或 $x$ 或 $x^2$

         $Q_m(x)$为待定系数的 m 次多项式。

         代入原微分方程，确定系数。

      2. $q(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+P_n(x)\sin\omega x]$

         设 $\tilde{y}=e^{\lambda x}k(x)[A_m(x)\cos\omega x+B_m(x)\sin\omega x]$

         其中 k(x) 根据 $\lambda+i\omega$ 是否为 r ，取 1 或 $x$ ，$A_m, B_m$ 为 m 次多项式，$m=max(l, n)$.