http://codeforces.com/contest/1109
D. Sasha and Interesting Fact from Graph Theory
题意：一棵树n个点，每条边权为1到m，问有多少棵树满足给定两点的距离为m。
组合数学+扩展 Cayley 定理
给定两点其实没什么用，所以不需要管。
两点的路径是一条链，所以枚举链的长度，链上所有边和为m，且每条边为1到m，所以隔板法求出有多少种分配方法。
确定了链之后，还剩下一些点，要把这些点插到链上，问有多少种插法。
就要用到扩展 Cayley 定理了。
Cayley 定理及证明见 https://www.cnblogs.com/lfri/p/10433011.html
扩展 Cayley 定理及证明见 https://kaloronahuang.com/oi/cayley-定理-扩展-cayley-定理/
Cayley 定理 ：n 个有标号的点能组成 nn−2 棵不同的树。
扩展 Cayley 定理 ：n 个有标号的点组成包含 s 棵树的森林，有 snn−s−1 种。
对于本题，链的长度为 k，则链上有 k+1 个点，剩下的点插入后 n 个点形成 k+1 棵树，有 (k+1)nn−k−2 种。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
| #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 2e6 + 10;
const ll mod = 1e9 + 7;
const ll inv2 = (mod + 1) / 2;
ll fac[N], inv[N];
ll power(ll a, ll x) {
ll ans = 1;
while (x) {
if (x & 1) ans = (ans * a) % mod;
a = (a * a) % mod;
x >>= 1;
}
return ans;
}
void init() {
fac[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i++) {
fac[i] = fac[i - 1] * i %mod;
}
inv[N - 1] = power(fac[N - 1], mod - 2);
for (int i = N - 2; i >= 0; i--) {
inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
}
ll n, m, a, b, ans;
ll C(ll n, ll k) {
return fac[n] * inv[n - k] % mod*inv[k] % mod;
}
ll P(ll n, ll k) {
return fac[n] * inv[n - k] % mod;
}
int main() {
scanf("%lld%lld%lld%lld", &n, &m, &a, &b);
init();
for (ll k = 1; k <= min(m, n - 1); k++) {
ll tmp = C(m - 1, k - 1)*P(n - 2, k - 1) % mod;
if (k < n - 1) {
tmp = tmp * (k + 1) % mod*power(n, n - k - 2) % mod*power(m, n - k - 1) % mod;
}
ans = (ans + tmp) % mod;
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
|
