空间中一点x0x_0到超平面wx+b=0wx+b=0的距离推导。

ww为超平面的法向量，b为截距。

作x0x1⃗\vec{x_0x_1}垂直于平面，则x0x1⃗\vec{x_0x_1}平行于w⃗\vec{w}.

则有x1x_1在平面上，即 w⋅x1+b=0w\cdot x_1+b=0

则 ∣w⃗⋅x0x1⃗∣=∣∣w⃗∣∣⋅∣∣x0x1⃗∣∣=∣∣w⃗∣∣⋅h|\vec{w}\cdot \vec{x_0x_1}|=||\vec{w}||\cdot ||\vec{x_0x_1}||=||\vec{w}||\cdot h

又 w⃗⋅x0x1⃗=w⋅(x1−x0)=w⋅x1−w⋅x0=−w⋅x0+(−b)=−w⋅x0−b\vec{w}\cdot \vec{x_0x_1}=w\cdot(x_1-x_0)=w\cdot x_1-w\cdot x_0=-w\cdot x_0+(-b)=-w\cdot x_0-b

∣w⃗⋅x0x1⃗∣=∣−w⋅x0−b∣=w⋅x0+b|\vec{w}\cdot \vec{x_0x_1}|=|-w\cdot x_0-b|=w\cdot x_0+b

∴ ∣w⋅x0+b∣=∣w⃗∣⋅h|w\cdot x_0+b|=|\vec{w}|\cdot h

∴ h=∣w⋅x0+b∣∣∣w⃗∣∣h=\frac{|w\cdot x_0+b|}{||\vec{w}||}