https://codeforces.com/gym/102012

G. Rikka with Intersections of Paths

 

题意：给定一棵树，m 条路径，要选出 k 个有公共点的路径，问有几种选法。

树上差分

如果两条路径相交，那么两条路径的LCA中更深的那个一定是交点之一，也是所有交点中深度最小的。

枚举每个点 u，作为这 k 条路径的交点，那么这 k 条路径的LCA中深度最深的那个（也是深度最小的交点）一定就是这个点 u。

这样枚举每个点，仅当这点是深度最小的交点（即上述LCA）时更新答案，就不会有重复了。

必须要保证选择的 k 条路径至少有一条的LCA是点 u。

经过点 u 的路径数用树上差分得到。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
#include <bits/stdc++.h>
#define debug(x) cout << #x << ":\t" << (x) << endl;
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 2e6 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ll mod = 1e9 + 7;
int T;
int n, m, k;
vector<int>G[N];
int f[N][30], dep[N];
void dfs(int u, int _fa) {
	f[u][0] = _fa;
	dep[u] = dep[_fa] + 1;
	for (int i = 1; (1 << i) <= dep[u]; i++)
		f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];
	for (int v : G[u]) {
		if (v != _fa)dfs(v, u);
	}
}
int LCA(int u, int v) {
	if (dep[u] < dep[v])swap(u, v);
	for (int i = 20; i >= 0; i--) {
		if ((1 << i) <= dep[u] - dep[v])
			u = f[u][i];
	}
	if (v == u)return u;
	for (int i = 20; i >= 0; i--) {
		if (f[u][i] != f[v][i]) {
			u = f[u][i];
			v = f[v][i];
		}
	}
	return f[u][0];
}
ll fac[N], inv[N];
ll power(ll a, int x) {
	ll ans = 1;
	while (x) {
		if (x & 1) ans = (ans * a) % mod;
		a = (a * a) % mod;
		x >>= 1;
	}
	return ans;
}
void init() {
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i < N; i++) {
		fac[i] = fac[i - 1] * i %mod;
	}
	inv[N - 1] = power(fac[N - 1], mod - 2);
	for (int i = N - 2; i >= 0; i--) {
		inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
	}
}
ll C(int n, int k) {
	if (n < k)return 0;
	return fac[n] * inv[k] % mod*inv[n - k] % mod;
}
int d[N], cnt[N];
void dfs2(int u, int _fa) {
	for (int v : G[u]) {
		if (v == _fa)continue;
		dfs2(v, u);
		d[u] += d[v];
	}
}
int main() {
	init();
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			G[i].clear();
			d[i] = 0;
			cnt[i] = 0;
			for (int j = 0; j <= 20; j++)f[i][j] = 0;
		}
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			int u, v;
			scanf("%d%d", &u, &v);
			G[u].push_back(v);
			G[v].push_back(u);
		}
		dfs(1, 0);
		for (int i = 0; i < m; i++) {
			int u, v;
			scanf("%d%d", &u, &v);
			d[u]++; d[v]++;
			int lca = LCA(u, v);
			d[lca]--; d[f[lca][0]]--;
			cnt[lca]++;
		}
		dfs2(1, 0);
		ll ans = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			ans = (ans + C(d[i], k) - C(d[i] - cnt[i], k) + mod) % mod;
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}