https://ac.nowcoder.com/acm/contest/8051

C - 有用的 LCM

 

题意：定义前缀 lcm 为 Ln=lcm(1,2,3,...,n)L_n= lcm(1,2,3,...,n) ，且一个数 x 对其前缀 lcm 有贡献当且仅当 Lx−1≠LxL_{x-1}\not= L_x 。特别的， 1 不视为对其前缀 lcm 有贡献。现在你需要求出 1~ n 内所有对其前缀 lcm 有贡献的数的个数。

min25筛

显然答案是 p 的幂次的个数。

只有小于等于 n\sqrt{n} 的质数有大于 1 的幂次，对于这些质数欧拉筛出来，同时统计幂次的个数。

还需要得到小于等于 nn 的质数的个数，min25筛模板题。

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#include <bits/stdc++.h>
#define debug(x) cout << #x << ":\t" << (x) << endl;
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 2e6 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll n, ans;
int vis[N], prime[N], cnt, sqr;
ll sieve(int m) {
	ll res = 0;
	for (int i = 2; i <= m; i++) {
		if (!vis[i]) {
			prime[++cnt] = i;
			ll x = n;
			while (x >= i) {
				x /= i;
				res++;
			}
			res--;
		}
		ll d;
		for (int j = 1; j <= cnt && (d = 1ll*i * prime[j]) <= m; j++) {
			vis[d] = 1;
			if (i%prime[j] == 0)break;
		}
	}
	return res;
}
ll w[N]; int m;
ll g[N];
int id[2][N];
int main() {
	scanf("%lld", &n);
	sqr = (int)sqrt(n);
	ans = sieve(sqr);
	for (ll i = 1, j; i <= n; i = j + 1) {
		j = n / (n / i);
		w[++m] = n / i;
		if (w[m] <= sqr)id[0][w[m]] = m;
		else id[1][n / w[m]] = m;
		g[m] = w[m] - 1;
	}
	for (int j = 1; j <= cnt; j++) {
		for (int i = 1; i <= m && w[i] >= 1ll*prime[j] * prime[j]; i++) {
			int k = (w[i] / prime[j] <= sqr ? id[0][w[i] / prime[j]] : id[1][n / (w[i] / prime[j])]);
			ll tmp = g[k] - j + 1;
			g[i] -= tmp;
		}
	}
	printf("%lld\n", g[1] + ans);
	return 0;
}

 

斐波那契？数列！

 

题意：题目分为两小部分。 第一个部分中你需要求出：对于递推数列 ai=x⋅ai−1+y⋅ai−2+z⋅ai−3a_i=x·a_{i-1}+y·a_{i-2}+z·a_{i-3} 的前缀平方和 ∑i=1nai2\sum_{i=1}^{n} a_i^2 ；第二个部分你需要回答 q 个询问：对于每个询问值 x 你需要回答：斐波那契数列 fif_i 的前缀平方和 FxF_x 的值。

第一部分，矩阵快速幂直接求即可。

第二部分，有结论 ∑i=1nfi2=fi⋅fi+1\sum_{i=1}^nf_i^2=f_i\cdot f_{i+1}。

需要快速求出 fif_i，但是由于 55 在模 998244353 下没有二次剩余，所有不能套公式。

但是又有结论

(fn+1fnfnfn−1)=(1110)n(f2n+1f2nf2nf2n−1)=(1110)2n⇓(f2n+1f2nf2nf2n−1)=(fn+1fnfnfn−1)2\begin{pmatrix} f_{n+1} & f_{n} \\ f_{n} & f_{n-1} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}^{n}\\ \begin{pmatrix} f_{2n+1} & f_{2n} \\ f_{2n} & f_{2n-1} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}^{2n}\\ \Downarrow\\ \begin{pmatrix} f_{2n+1} & f_{2n} \\ f_{2n} & f_{2n-1} \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} f_{n+1} & f_{n} \\ f_{n} & f_{n-1} \\ \end{pmatrix}^2

所以可以 O(log⁡x)O(\log x) 求出 fx,fx+1f_x,f_{x+1}。

注意 nn 要用 __int128.

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#include <bits/stdc++.h>
#define debug(x) cout << #x << ":\t" << (x) << endl;
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 2e6 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ll mod = 998244353;
inline __int128 read()
{
	__int128 x = 0, f = 1;
	char ch = getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9')
	{
		if (ch == '-')
			f = -1;
		ch = getchar();
	}
	while (ch >= '0'&&ch <= '9')
	{
		x = x * 10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	return x * f;
}

inline void write(__int128 x)
{
	if (x < 0)
	{
		putchar('-');
		x = -x;
	}
	if (x > 9)
		write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

__int128 n;
ll a1, a2, a3, x, y, z;
int q;
struct Mat
{
	ll a[10][10];
	int r, c;
	Mat(int _r, int _c) { r = _r, c = _c, memset(a, 0, sizeof(a)); }
};
Mat operator*(Mat X, Mat Y) {
	Mat Z(X.r, Y.c);
	for (int i = 0; i < X.r; i++) {
		for (int j = 0; j < Y.c; j++) {
			for (int k = 0; k < X.c; k++) {
				Z.a[i][j] = (Z.a[i][j] + 1ll * X.a[i][k] * Y.a[k][j] % mod) % mod;
			}
		}
	}
	return Z;
}
Mat pow(Mat a, __int128 n) {
	Mat res(a.r, a.c);
	for (int i = 0; i < a.r; i++)
		res.a[i][i] = 1;
	while (n > 0) {
		if (n % 2 != 0)res = res * a;
		a = a * a;
		n /= 2;
	}
	return res;
}
Mat A(7, 1), B(7, 7);
typedef pair<int, int>pii;
pii fib(int n) {
	if (n == 0) return { 0, 1 };
	pii p = fib(n >> 1);
	if (n & 1) {
		int a = (1ll * p.first*p.first%mod + 1ll * p.second*p.second%mod) % mod;
		int b = 1ll * p.second*(2ll * p.first%mod + p.second) % mod;
		return { a,b };
	}
	else {
		int a = 1ll * p.first*(2ll * p.second%mod - p.first + mod) % mod;
		int b = (1ll * p.first*p.first%mod + 1ll * p.second*p.second%mod) % mod;
		return { a,b };
	}
}
int main() {
	n = read();
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld", &a1, &a2, &a3, &x, &y, &z);
	A.a[0][0] = (a1 * a1 + a2 * a2 + a3 * a3) % mod;
	A.a[1][0] = a3 * a3%mod; A.a[2][0] = a2 * a2%mod; A.a[3][0] = a1 * a1%mod;
	A.a[4][0] = a3 * a2%mod; A.a[5][0] = a3 * a1%mod; A.a[6][0] = a2 * a1%mod;
	for (int i = 0; i < 2; i++) {
		B.a[i][1] = x * x%mod; B.a[i][2] = y * y%mod; B.a[i][3] = z * z%mod;
		B.a[i][4] = 2 * x*y%mod; B.a[i][5] = 2 * x*z%mod; B.a[i][6] = 2 * y*z%mod;
	}
	B.a[0][0] = 1; B.a[1][0] = 0;
	B.a[2][1] = B.a[3][2] = B.a[6][4] = 1;
	B.a[4][1] = x; B.a[4][4] = y; B.a[4][5] = z;
	B.a[5][2] = y; B.a[5][4] = x; B.a[5][6] = z;
	if (n == 1)printf("%lld\n", a1*a1%mod);
	else if (n == 2)printf("%lld\n", (a1*a1 + a2 * a2) % mod);
	else {
		A = pow(B, n - 3)*A;
		printf("%lld\n", A.a[0][0]);
	}
	scanf("%d", &q);
	while (q--) {
		int i;
		scanf("%d", &i);
		auto p = fib(i);
		int ans = 1ll * p.first * p.second % mod;
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}